الحسابات النظرية التي توصل إليها بوهر
حساب نصف قطر مدار الإلكترون وسرعته في ذرة الهيدروجين
* من الفرضيتين الأولى والثانية استطاع بوهر أن يحسب نصف قطر مدار الإلكترون في ذرة الهيدروجين (نقن) وسرعته (عن) وطاقته (طان)
في المدار رقم (ن) ، وسنورد هذه الحسابات بدون برهان ، وهي على النحو التالي :
1ـ حساب نصف قطر مدار الإلكترون: يعطى نصف قطر أي مدار من العلاقة :
........(1)
حيث (ن) عدد صحيح موجب = 1 , 2
, 3 , ...........∞
(شe) شحنة النواة أو
الإلكترون
( كe) كتلة الإلكترون ,
(ي) ثابت العزل
الكهربائي وقيمته بالنسبة للفراغ أو الهواء = 9 × 910 نيوتن. متر2/
كولوم2
* فعندما تكون قيمة ن =1 نحصل على نصف قطر المدار الأول (نق1)
للإلكترون ويسمى نصف قطر بوهر وهو أقرب وضع للإلكترون من النواة ويساوي:
.........(2)
نلاحظ
أن الكميات التي تدخل في هذه العلاقة البسيطة هي ثوابت طبيعية , فبالتعويض بهذه
القيم في
العلاقة
(2) وهي : h = h/ 2 bay= 1.054 × 10-34 جول.ث
كe= 9.1 × 10-31
كجم
شe=1.6 × 10-19
كولوم
ي = 9 × 910 نيوتن.
متر2/ كولوم2
نحصل على قيمة نق1=0.528×1010م = 0.528 إنجستروم(Å) وهذه القيمة النظرية على وفاق مع القيمة التجريبية . وبتعويض العلاقة (2) في العلاقة (1) نحصل على نصف قطر أي مدار (نقن) بدلالة نصف قطر المدار الأول(نق1) أي أن :
ملاحظات :
*ـ إن نصف قطر المدار (نقن) يتناسب طردياً مع مربع العدد (ن)
*ـ بإعطاء (ن) القيم 1 , 2 , 3 , 4 , .....∞ نجد أن قيم أنصاف أقطار المدارات المناظرة هي : نق1 , 4 نق1 , 9 نق1 , 16نق1......∞
وهذه المدارات هي المسموحة التي يمكن أن يتواجد فيها الإلكترون في ذرة الهيدروجين وليس أي مدار, وبالتالي تكون مدارات الإلكترون هي مدارات مكممة ولهذا يدعى العدد (ن) بالعدد الكمي الرئيسي .
نشاط: إذا كان نصف قطر المدار الأول وفقاً لنموذج بوهر لذرة الهيدروجين (0.53) إنجستروم , احسب نصف قطر المدار الثاني و الثالث. وزاري(2005 ـ 2006م)
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
2ـ حساب سرعة الإلكترون على المدار رقم (ن) : تعطى سرعة الإلكترون على المدار رقم (ن) من العلاقة :
.............(4)
وسرعته في المدار الأول ، أي من أجل ن=1 هي :
|
|
وبالتعويض
عن قيم الثوابت ي , ش , h͞ نجد أن قيمة
ع1=2.2×610 م/ث = 2.2 ×810
سم/ث. وبتعويض العلاقة (5) في العلاقة (4)
نجد أن سرعة الإلكترون في أي مدار (عن
) بدلالة سرعته في المدار الأول (ع1) وهي :
ملاحظات :
*ـ إن سرعة الإلكترون في المدار رقم (ن) تتناسب عكسياً مع العدد (ن)
فكلما ابتعد الإلكترون عن النواة , أي كبُر نصف قطر المدار , قلت السرعة وبإعطاء (ن) القيم 1 , 2 , 3 , 4 , ....... ∞ نجد أن السرعات المناظرة هي :
*ـ إذا كانت (ن) = ∞ تكون ع = صفر , وفي هذه الحالة يكون الإلكترون خارج الذرة وغير مرتبط بالنواة . والشكل (18) يبين القياسات النسبية للمدارات الدائرية للإلكترون والسرعات المناظرة لها
س : علل : كلما بعد الإلكترون عن النواة تقل سرعته .
جـ: ........................................................
************************************************
شرح بالفيديو لدرس الحسابات النظرية التي توصل إليها بوهر