كيف نفرق بين الكميات القياسية والكميات المتجهة وما الفرق بين الضرب القياسي والمتجه

كيف نفرق بين الكميات القياسية والكميات المتجهة وما الفرق بين الضرب القياسي والمتجه

المتجهات

Vectors

كيف نفرق بين الكميات القياسية والكميات المتجهة وما الفرق بين الضرب القياسي والمتجه

ملاحظة / هنالك رابط لتحميل كتاب الكميات القياسية والمتجهة pdf في نهاية الموضوع

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

2-1         الكميات القياسية والكميات المتجهة    Scalars and vectors

الكميات الفيزيائية نوعان:

أ‌-       الكميات القياسية: هي كميات فيزيائية غير متجهة يتم تعيينها تماماً إذا عرف مقدارها فقط .

ومن أمثلة الكميات الغير متجهه الكتلة , الزمن , الطول , درجة الحرارة والطاقة وجميعها كميات قياسية.

ب‌-   الكميات المتجهة: هي كميات فيزيائية متجهة يتم تعيينها تماماً إذا عرف مقدارها واتجاهها.

يمكن تمييز الكمية المتجهة عن الكمية القياسية وذلك بكتابة المتجه بخط عريض A كما هو مستخدم في الكتب أو بوضع إشارة سهم أعلى الرمز A كما هو الحال في الكتابة اليدوية      . أما الكمية القياسية أو ما يُعرف بقيمة المتجه A مثلا فيعبر عنه بالرمز A أو lAl أو 

ومن الأمثلة على الكميات المتجهة الإزاحة والسرعة والعجلة والقوة وكمية الحركة . ويلزم تحديد اتجاه الإزاحة والسرعة والقوة بالإضافة لعدد الوحدات في كل مقدار لكي تتعرف تماماً . وتستخدم عادةً الطرق الهندسية في تمثيل الكمية المتجهة حيث يمثَل المتجه بيانياً بسهم يتناسب طوله طردياً مع مقدار المتجه واتجاهه يمثل اتجاه المتجه شكل  (2-1) .

خواص المتجهات:

·        تساوي المتجهات:

إن المتجهين A ،  Bمتساويان إذا كان لهما نفس المقدار ونفس الاتجاه (ونفس الوحدة إن وجدت) ، أي أن A = B إذا كان مقدار A يساوي مقدار B وكان السهم الممثل للمتجه A يوازي السهم الممثل للمتجه B شكل  (2-2) .

·        سالب المتجه:

إذا أعطينا المتجه A فإن –A هو متجه مساوٍ له في  المقدار ويعاكسه في الاتجاه  شكل  (2-3) .

·        جمع المتجهات:

عند جمع المتجهات يجب أن تكون هذه المتجهات من نفس النوع فلا يمكن مثلا أن نجمع متجه قوة إلى متجه سرعة لاختلافهما في الأبعاد. وذلك ينطبق أيضا عند جمع الكميات القياسية.

إيجاد محصلة مجموعة من المتجهات:

1-  إذا كانت جميعها تعمل على خط واحد فإنها تجمع جبرياً بإشاراتها وذلك بعد اختيار اتجاهاً معيناً يكون موجباً . وإذا تساوى مقدار متجهين وتضادا اتجاهاً كان محصلتهما تساوي صفر.

2-    إذا لم يكن خط تأثير المتجهات واحداً فإننا نوجد محصلتها بإحدى طريقتين:

أ‌-       طريقة متوازي الأضلاع:

حاصل جمع المتجهين A و B هو متجه C , ويسمى عادة ً بالمحصلة (Resultant) . ولإجراء عملية الجمع نقوم برسم أحد المتجهين أولاً وليكن A بمقياس رسم مناسب ، ثم من بداية المتجه A نرسم المتجه B بنفس مقياس الرسم ثم نكمل رسم متوازي الأضلاع فتكون المحصلة هي قطر متوازي الأضلاع الذي ضلعاه المتجاوران هما المتجهان  AوB. كما هو موضح في الشكل (2-4).

ب‌-   طريقة المثلث:

لإجراء عملية الجمع بطريقة المثلث نقوم برسم أحد المتجهين أولاً وليكن A بمقياس رسم مناسب ، ثم من رأس المتجه A نرسم المتجه B فتكون المحصلة C هي المتجه الذي يبدأ من بداية المتجه A وينتهي عند رأس المتجه B كما في الشكل (2-5) .

ويمكن التعبير رياضياً عن عملية الجمع في كلتي الطريقتين بالمعادلة (2-1).

(2-1)       C = A+B                                                           

لنفرض أننا بدأنا عملية الجمع بأخذ المتجه B أولاً ثم جمعنا إليه المتجه   A أي قمنا بعملية الجمع B+A يتضح من الشكل (2-6) أننا نحصل على نفس المتجه C وبذلك نستطيع أن نكتب :

(2-2)          A+B = B+A

 

وتسمي هذه النتيجة بقانون التبادل للجمع .

يمكن تطبيق طريقة المثلث لجمع أكثر من متجهين , فمثلاً المتجهات الثلاث A و B و  C يمكن جمعها كما هو

مبين في الشكل (2-7).

ويمكن التعبير عن هذه النتيجة رياضياً بالمعادلة

     (2-3)                      

وتسمى هذه المعادلة بقانون الترافق للجمع .

كذلك يمكن تعميم طريقة المثلث للجمع لتشمل أكثر من ثلاث متجهات فإذا فرضنا أن هناك أربع متجهات A و B و C وD فإننا نرسم الواحد تلو الآخر كما في الشكل (2-8)، وبتطبيق قاعدة المثلث للجمع ثلاث مرات متتالية نجد أن المحصلة هي:

(2-4)         

                                

                                                                

و تبدأ من بداية المتجه A وتنتهي عند رأس المتجه D  أي أن المحصلة هي الضلع الذي يقفل المضلع ولكن  بالاتجاه المعاكس لدورة المتجهات الأربعة.                                            

·        طرح المتجهات:

إن عملية طرح المتجهات شبيهة بعملية جمع المتجهات , فمثلاً A – B هو متجه جديد C ولتحديد المتجه

C نقوم برسم المتجه A أولاً ومن رأس هذا المتجه نرسم سهماً موازياً  ومعاكساً في الاتجاه للمتجه B. إن هذا السهم يمثل المتجه – B ، وبذلك تكون المحصلة C هي المتجه الذي يبدأ من بداية المتجه A وينتهي عند رأس المتجه – B شكل (2-9). تمثل هذه العملية رياضياً بالمعادلة (2-5) .   C=A-B

(2-5)                                                                                  

·        ضرب المتجهات:

يمكن ضرب المتجه بكمية قياسية فمثلاً 2A تعني متجه جديد مقداره 2A واتجاهه هو نفس اتجاه A. وبصورة عامة فإن ضرب المتجه A بالكمية القياسية c يعطي المتجه cA و اتجاهه هو نفس اتجاه A إذا كانت الكمية القياسية c موجبة. وعكس اتجاه A إذا كانت الكمية القياسية c  سالبة.

من الأمثلة الفيزيائية على ضرب المتجه بكمية قياسية الزخم الخطي (كمية التحرك الخطية) P وهو حاصل ضرب الكتلة m في متجه السرعة v ويعطي بالعلاقة (2-6).

(2-6)            P = mv                                 

2-2         متجهات الوحدة Unit vectors

متجه الوحدة هو متجه له اتجاه معين وقيمته هي الوحدة (Unity) ، وليس له وحدة قياس أو بُعد.

 يوجد ثلاث متجهات وحدة في نظام الإحداثيات الكارتيزية (الديكارتية) هي i و j و k  (يدويا تكتب ) حيث أن هذه المتجهات تشير إلى الاتجاه الموجب للمحاور x و y و z على الترتيب كما هو موضح في  الشكل   (2-10) ، فمثلا إذا كان المتجه A يتجه باتجاه x الموجب وقيمته A و B يتجه باتجاه y الموجب وقيمته B و C باتجاه z الموجب وقيمته C فإن هذا المتجهات تكتب على الترتيب بالصورة الاتجاهية التالية :    

(2-7)                                              

        

ملاحظة : وجود الإشارة السالبة أمام أي متجه وحدة يدل على الاتجاه المعاكس فمثلا  i – تشير إلى الاتجاه السالب لمحور  x.

2-3         تحليل المتجهات Analysis of vectors

          يمكن تحليل أي متجه A واقع في المستوى xy  إلى متجهين متعامدين ، الأول موازي لمحور x (A_x)    والآخر موازي لمحور y (A_y) وتكون محصلتهما هي نفس المتجه A :

(2-7)

فإذا كان المتجه A يصنع زاوية مقدارها θ مع الاتجاه الموجب لمحور x كما هو بالشكل (2-11) وأسقطنا من رأس المتجه A عمودين على المحورين x و y فإن الكميتين  A_x و A_y هما مركبتا المتجه A ومن الشكل نجد أن :

  (2-8)                                                 

                                                                       

·        إن المركبتين Ax  و Ay أرقام يمكن أن تكون موجبه أو سالبه ( أو صفر) و تسمى عملية إيجادهما بتحليل المتجه إلى مركباته . ·        إن المركبتين Ax  و Ay  تشكلان ضلعين من مثلث قائم الزاوية بينما يشكل A وتر هذا المثلث و بتطبيق نظرية فيثاغورث نجد أن قيمة المتجه A تعطى كما في المعادلة (2-9) :

                             

ومن الشكل (2-11) نجد أن

وعند حلها لإيجاد قيمة θ فإننا نكتب

المعادلة (2-11) تقرأ θ تساوي الزاوية التي ظلها  

, وتعتبر قيمه θ المسئولة عن تحديد إشارات المركبات A_y  و A_x لأن الزاوية θ تحدد الربع الذي يقع فيه المتجه  A. الشكل (2-12) يلخص إشارات المركبات في كل ربع.

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

الموضوع من إعداد أ. زاهر محمود نصار أ. أمال يوسف البطنيجي

الجامعة الإسلامية - غزة     ـ   كلية العلوم - قسم الفيزياء  

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

تحميل كتاب الكميات القياسية والمتجهة pdf

تحميل كتب في الميكانيكا الكلاسيكية pdf

شارك زملاءك لتصلكم مواضيعنا القادمة إن شاء الله تعالى

تعديل المقال